Ga door naar hoofdcontent
ArtikelenCupola: een nieuwe oppervlakteware wereldkaart

Cupola: een nieuwe oppervlakteware wereldkaart

Vrijdag 18 juni 2021Afbeelding Cupola: een nieuwe oppervlakteware wereldkaart

Er bestaan ontzaglijk veel manieren om de aardbol in het platte vlak te projecteren en toch wilde ik er nog eentje aan toevoegen. Wat de beste projectie is? Dat hangt van allerlei keuzes af, en van hoe je de kwaliteit van een kaart meet. De gebieden aan de randen van een kaart worden meestal sterk vervormd weergegeven en mijn vraag was: als die randgebieden zo goed mogelijk worden weergegeven, wat rolt er dan voor kaart uit?

Wil je grote oppervlaktes, zoals de werelddelen, met elkaar vergelijken, wil je lange afstanden meten of wil je weten wat de kortste route van A naar B is, dan is een globe altijd beter dan wat voor platte kaart ook. Zelfs een kleine globe kan dat behoorlijk goed. Je gaat echter niet een verzameling globes maken voor elk thema dat je wilt illustreren.

Thematische kaarten

Vegetatiezones. Bevolkingsdichtheid. Opbrengst per hectare landbouwgrond. Aantal soorten libellen per duizend vierkante kilometer. Het leefgebied van de ijsbeer. Platte wereldkaarten zijn daarvoor juist wel geschikt, en dan rijst de vraag: welke projectie? Eigenlijk begint het met de vraag of je de zeeën, het land of beide zo goed mogelijk wilt afbeelden. Voor de zeeën bestaat er al een heel mooie kaart, de oppervlakteware Spilhausprojectie uit 1942. Er is zoveel water op aarde dat het goed afbeelden van zeeën én continenten een beetje te veel vraagt van een kaart en daarom heb ik uitsluitend naar de continenten en de grotere eilanden gekeken.

Vervorming

Figuur 1: Illustratie van hoe een cirkel op de aarde een ellips in de projectie wordt: boven de Wagner VII-Projectie, onder de Cupola-projectie (bron: Weia Reinboud)

Er zijn allerlei boeken waarin veel projecties worden afgebeeld. De site www.mapthematics.com toont zelfs 340 projecties van (een deel van) de aarde en is niet eens compleet. Achtergrond van de veelheid aan projecties is dat de aarde een bol is en dat die onmogelijk in het platte vlak zonder vervorming af te beelden is en dat je moet schipperen. Dat doet elke projectie op een andere manier.

Rond mijn zestiende zag ik in de bibliotheek ‘Kort overzicht der kartografie’ van Vening Meinesz (1941). Wiskundig ging het me boven de pet, maar de verschillende soorten vervorming werden erin uitgelegd en er stonden graadnetten van verschillende projecties in afgebeeld. Fascinerend! Het bleek mogelijk om sommige aspecten van een kaart onvervormd weer te geven.

Er bestaan kaarten die ‘afstandswaar’ heten, maar daarop kunnen slechts sommige afstanden correct uit de kaart afgelezen worden. Langs alle parallellen, of langs alle meridianen, of de afstand tot zowel Washington als Moskou – maar alle andere afstanden kloppen dan niet.

Er bestaan kaarten waarop alle kleine gebiedjes vrijwel correct getekend zijn, maar grotere gebieden kloppen niet. Van deze ‘hoekware’ of ‘conforme’ projecties is de Mercatorprojectie een voorbeeld. Het is misschien wel de enige projectie waarvan de naam ook bij niet-specialisten bekend is. Het is de projectie die direct genoemd wordt als het gaat over ‘fout’ gekozen projecties, omdat noordelijker streken, waaronder het rijke West-Europa, vergroot weergegeven worden. Zet een stip voor duizend bedreigde orang-oetans op Borneo en zet een stip voor duizend bedreigde ijsberen in Noord-Groenland – die laatste stip zou op een Mercator acht keer zo groot moeten zijn (64 keer zoveel oppervlak) om stip en landoppervlak in dezelfde verhouding te laten staan. De Mercator is intussen de enige projectie waarop alle kompaskoersen als rechte lijn worden afgebeeld, in de tijd van navigatie met kaart en kompas was de Mercator een must.

Om deze korte beschrijving van de vervormingstheorie af te ronden: er bestaan kaarten waarop overal alle oppervlaktes kloppen, terwijl afstanden en vormen/hoeken vrijwel overal vervormd worden weergegeven. Dit zijn de ‘oppervlaktegetrouwe’, ‘vlakware’ of ‘equivalente’ projecties. Mij lijken deze projecties het geschiktst voor thematische kaarten omdat thematische kaarten meestal iets weergeven dat oppervlaktegerelateerd is. Google op ‘polar bear map’ en je ziet oppervlaktegetrouwe kaarten waarop de kustgebieden waar ze leven niet zo groot lijken en je ziet Mercators waarop hun leefgebied gigantisch groot lijkt. Handigheidje om zo’n projectie meteen te kunnen beoordelen: op een Mercator is Groenland bijna zo groot als Afrika, terwijl het in het echt even groot is als Saoedi-Arabië of zo groot als het de oceaan instekende deel van het Indiaas schiereiland.

Eisen aan de kaart stellen

Met de keus voor een vlakware projectie zijn we er nog niet. Je kunt willen dat op de kaart de parallellen als parallelle lijnen weergegeven worden, of dat de pool als punt afgebeeld wordt, omdat dat op aarde ook het geval is. Maar met elke toegevoegde eis wordt het moeilijker om de vervormingen in toom te houden. Dit is het meest het geval wanneer de kaart in een rechthoek moet passen. Bol en rechthoek staan zo ver van elkaar af dat enorme vervormingen het gevolg zijn. Toch hebben rechthoekige kaarten iets wat andere projecties niet hebben: elke geografische lengte kan als centrale verticale lijn gekozen worden zonder dat de kaart verder verandert. Bij niet-rechthoekige kaarten daarentegen moet je kiezen wat er in het centrum komt en omdat het centrum meestal niet of weinig vervormd is, komt zo’n keus neer op het bevoordelen van de centrale regionen. Ik zal zo meteen uitleggen hoe ik deze keuze heb kunnen omzeilen.

Enkele vaak gemaakte keuzes heb ik wel gemaakt: de aardpolen zijn ook de kaartpolen (je zou de kaartpool ook in Hawaii kunnen leggen), noord is boven en het moet een continue kaart zijn. Niet-continue kaarten bestaan uit een aantal losse delen, of de kaart is op bepaalde plaatsen ingeknipt. Op die manier worden vervormingen verkleind, maar de samenhang gaat verloren.

Na alle voorgaande overwegingen kwam ik uit bij de Hammerprojectie en diens nazaten. Deze projecties hebben kromme parallellen en kromme meridianen, waarbij de krommen geen cirkels of ellipsen moeten zijn.

Dubbele projecties

Aitoff publiceerde in 1889 een niet-vlakware kaart die in twee stappen tot stand kwam, Hammer nam dat idee over voor een vlakware kaart (1892). De eerste stap is dat de aardbol op de helft van een qua oppervlak tweemaal zo grote bol wordt geprojecteerd, terwijl in de tweede stap deze tussenbol met een gewone projectie naar een plat vlak wordt geprojecteerd. Deze kaart heeft een sterk vervormd centrum, wat gecorrigeerd wordt door de kaart horizontaal uit te rekken en verticaal in te deuken. Het resultaat is een elliptische kaart die iedereen weleens onder ogen heeft gehad, want veel kaarten van het heelal gebruiken deze Hammerprojectie.

In 1941 maakte Wagner een versie met de pool niet als punt, maar als lijn. Hij bracht het als een rekenkundig proces, maar het kan ook als een dubbele projectie gezien worden, via een tussenbol dus. Het is een heel flexibele methode, want de tussenbol kan allerlei afmetingen hebben en de aardbol kan op een kleiner of groter deel daarvan afgebeeld worden. Voor de tweede stap is wat Hammer deed het beste, hij gebruikte Lamberts vlakware azimuthale projectie uit 1772. (Azimuthaal betekent dat het projectievlak geen cilinder of kegel is maar een plat vlak dat ergens aan de tussenbol raakt.)

Vijf parameters, asymmetrie

Vanaf het begin was ik van plan om een asymmetrische kaart te maken. Mijn redenering was: ik kijk alleen naar de bewoonde continenten, Antarctica telt dan niet mee. Omdat er veel meer land op het noordelijk halfrond dan op het zuidelijk halfrond ligt, mag de kaart meebuigen in de richting van het noorden, wat hopelijk tot minder vervorming leidt.

Vijf parameters blijken nodig te zijn in de formules voor alle mogelijke projecties van de Hammerfamilie. Twee parameters gebruikte Hammer al, Wagner voegde een derde toe. Asymmetrie kan op een manier die Pécsi in 1966 voor een deel van de wereld gebruikte, door het projectievlak niet aan de evenaar van de tussenbol te laten raken maar noordelijker. Ik bedacht dat er een tweede manier is om asymmetrie in te voeren, op de tussenbol al. Je projecteert de aarde op een deel van de tussenbol, waarbij de aardevenaar op de evenaar van de tussenbol ligt. Vervolgens kan je dit ‘lapje’ langs de meridianen noordwaarts opschuiven, zodat de aardevenaar hoger dan de evenaar van de tussenbol komt te liggen. Dit moet oppervlaktewaar gebeuren, uiteraard. Mijn extra, vijfde parameter was het enige stukje wiskunde dat ik in de formules moest inbouwen, alle andere formules komen uit de literatuur. Uiteindelijk ontstond zo een set formules die met mijn hbs-b-wiskunde al te hanteren was. Wat ik er na het eindexamen van 1969 nog bij heb geleerd, niet zo heel veel, was niet eens nodig.

Kwaliteit meten

Wagner kwam via fingerspitzengefühl tot zijn kaart, een esthetisch oordeel eigenlijk. Je kunt ook de vervorming in een getal uitdrukken en dan kijken of er varianten van de kaart zijn met een betere uitkomst. Een veelgebruikte methode is de kleinste-kwadratenmethode: je berekent voor heel veel punten de vervorming en sommeert de kwadraten daarvan. Je zoekt vervolgens die waarden van de kaartparameters waarbij die som zo klein mogelijk is. Door kwadraten te nemen, leggen sterk afwijkende waarden extra gewicht in de schaal, maar ik dacht: waarom niet derdemachten of vierdemachten? Kwadraten nemen is eigenlijk een arbitraire keuze. Zo kwam ik tot het idee om helemaal niet te sommeren, om niet naar veel punten te kijken, maar alleen naar de slechtst afgebeelde punten op de continenten, de vervorming daarvan neem ik als maat voor de kwaliteit van een bepaalde kaart. (Wat ik hier niet verder toelicht: ik heb een nieuwe manier bedacht om de ellipsvorm van de aarde in de berekeningen mee te nemen, die in dit project prima werkte.)

Vervorming wordt in de literatuur op verschillende manieren uitgedrukt, maar bij een oppervlakteware kaart maakt het niet uit wat je kiest, want alles is eenvoudig in elkaar uit te drukken. Figuur 1 illustreert hoe een cirkel op de aarde een ellips in de projectie wordt en waar de maximale hoekvervorming zit: dat is het punt op de cirkel dat in de projectie in het snijpunt van cirkel en ellips terechtkomt (bij niet-vlakware projecties geldt dit niet). De platte ellips in de afbeelding hoort bij de Wagner VII (figuur 2), de projectie die mijn favoriet was voordat ik aan dit project begon. Zo’n sterk afgeplatte ellips had ik niet verwacht.

Over Reinboud

Weia Reinboud (1950) heeft kort sterrenkunde gestudeerd en langere tijd sociologie, maar heeft ook korte opleidingen gevolgd op het gebied van letterontwerpen, componeren, biomechanica en precisiebankwerken. Kartografie is een van haar vele hobby’s, net als muziek, atletiek en veldbiologie (libellen en motmuggen in het bijzonder). Ze heeft een kleine uitgeverij in Utrecht en heeft daar onder andere gepubliceerd over filosofisch scepticisme. Ze publiceerde over haar Cupola-projectie in maart 2021 in het prestigieuze International Journal of Cartography. Haar artikel is te vinden via: bit.ly/weiareinboud. Op haar website zijn alle afbeeldingen plus andere projecties te vinden: www.at-a-lanta.nl/weia/cupola.html.

In de NRC van zaterdag 1 mei is een interview met Weia te lezen over haar kaartprojectie: bit.ly/weiareinboudnrc.

Welk centrum en welke randen

Nu komt een interessant punt. Door alleen naar het land te kijken en daarop alleen naar de slechtst afgebeelde punten, was het logisch om te beginnen met de compactste groepering van de continenten. Dat blijkt een cirkel te zijn waarvan het middelpunt in Gabon ligt (figuur 3). Als daar de centrale meridiaan van de kaart wordt gelegd, dan valt dat toevallig ongeveer samen met kaarten waarop Afrika en Europa centraal gelegd zijn. Nog toevalliger is dat 180 graden westelijker de internationale datumgrens loopt, althans waar die tussen Siberië en Alaska door gaat. Heel precies: ik heb als kaartrand −168°58’37’’ gekozen (min betekent westerlengte), daar waar de datumgrens tussen twee Siberische en Amerikaanse eilandjes door loopt. De kaartrand doorsnijdt St. Lawrence Island, er blijkt geen enkele meridiaan te zijn die alleen door zee en Antarctica gaat. Traditioneel, omdat het gemakkelijker te tekenen viel, werd vaak een randmeridiaan genomen die Siberië of Alaska doorsnijdt. Mijn manier om alleen naar de slechtste punten te kijken leidde toevallig tot een heel bruikbare centrale meridiaan en kaartrand.

Numerieke oplossing: de Cupola

Dertig jaar geleden heb ik op een Ataricomputer in C++ aan deze projectie zitten rekenen, wat wel tot een resultaat leidde, maar ook tot het inzicht dat de Atari het niet aankon. Naar de randen van de kaart was er sprake van ‘dramatic loss of significance’. Een jaar of vijf geleden ben ik opnieuw begonnen op een duizend keer snellere computer en met als programmeertaal Matlab. De wiskunde is niet heel moeilijk, maar wel zijn het tamelijk ‘vieze’ vergelijkingen die ik alleen numeriek kon oplossen.

Als geen van de parameters actief is, is er één slechtste punt, bij één actieve parameter zijn er twee slechtste punten, en zo verder, ongeveer. ‘Ongeveer’, want door de onregelmatige vormen van de continenten stokte het bij vier even slechte slechtste punten.

De punten die ik doorrekende vormen een onregelmatige omgeschreven veelhoek om de continenten heen. Slechts 89 punten aan de randen van de continenten waren kandidaat slechtste punt, alle andere punten op de continentranden liggen dichter bij het centrum en zullen dus minder vervormd zijn.

Met één actieve parameter laat een tweedimensionale grafiek eenvoudig zien wat de beste kaart is, met twee actieve parameters waren de driedimensionale grafieken van Matlab een uitkomst. Daar begon het gedonder echter al: er bleken valse oplossingen te zijn, zogeheten lokale maxima, terwijl ik het algehele maximum zocht.

Vijf parameters vereisen een zesdimensionale grafiek… Het werd dus tasten, zomaar ergens beginnen, naar een maximum bewegen en dan gaan uitzoeken of dat een lokaal of globaal maximum was. De computer heeft veel uren staan rekenen, terwijl ik met iets anders bezig was. Het zoeken heb ik niet helemaal geautomatiseerd. Ik weet ook niet of ik een efficiënte zoekmethode had kunnen programmeren, de parameters werken namelijk niet geheel onafhankelijk.

De naam ‘Cupola’ slaat uiteraard op de gelijkenis van de kaart met een koepel, in het bijzonder die van het Pantheon in Rome (zie figuur 4).

Mijn manier om alleen naar de slechtste punten te kijken leidde toevallig tot een heel bruikbare centrale meridiaan en kaartrand

Gekleurde stippen

Figuur 5. Groenland (boven) en Nieuw-Zeeland (onder). Van links naar rechts: globe, Wagner en Cupola (bron: Weia Reinboud).

Er zijn allerlei manieren om te laten zien hoe vervormd een kaart is. Ik heb ervoor gekozen om de mate van vervorming met een kleur weer te geven: rood staat voor onvervormd, blauw voor supervervormd. Er staan op de kaart een kleine drieduizend stippen, die langs de parallellen liggen en elke stip staat voor een oppervlak van precies vier vierkante graden. De best afgebeelde locaties zijn Zuid- Afrika en Midden-Groenland. Iemand die een bepaalde regio zou willen bevoordelen zou iets anders bedacht hebben.

Conclusies

De keus voor asymmetrie heeft heel goed uitgepakt. In getalletjes, waarbij 1 staat voor onvervormd en een lager getal voor een lagere kwaliteit: de compactste groepering van de continenten (figuur 3) heeft een kwaliteit van 0.4141, Wagner VII (figuur 2) had maar 0.2648, de asymmetrie volgens Pécsi (niet afgebeeld) levert een forse verbetering tot 0.6429, maar met mijn asymmetrie erbij wordt het 0.6803 (figuur 4). Dat getal is de halve korte as van de ellips in figuur 1.

In woorden: als alleen naar het land gekeken wordt en als op voorhand geen enkele regio bevoordeeld wordt, dan is de Cupola voor zover ik kan zien de best mogelijke vlakware projectie. Ik zie dan ook graag dat ze gebruikt gaat worden voor allerlei thematische wereldkaarten. De verspreiding van ijsberen zal er goed op uitkomen, maar voor de verspreiding van pinguïns zou ik een apart kaartje van de Zuidpool toevoegen.

Literatuur

  1. Canters F. en Decleir H. (1989). The world in perspective – a directory of world map projections. John Wiley and Sons.
  2. Snyder, J.P. (1987). Map projections – a working manual (U.S. Geological Survey Professional Paper 1395). https://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf.
  3. Snyder, J P. (1989). An album of map projections (U.S. Geological Survey Professional Paper 1453). https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf.
  4. Vening Meinesz, F. A. (1950 tweede druk). Kort overzicht der kartografie. P. Noordhoff.

Auteurs

Afbeelding voor Weia Reinboud

Weia Reinboud

Weia Reinboud is hobbykartograaf.

Volledige biografie