Ga door naar hoofdcontent
ArtikelenDe Delftse School in de geodesie
Een poging tot geschiedschrijving

De Delftse School in de geodesie

Dinsdag 1 september 2020Afbeelding De Delftse School in de geodesie

Recentelijk is de vierde publicatie verschenen in de serie Geodetisch- Historische Monografieën van de Stichting De Hollandse Cirkel, de stichting die zich bezighoudt met de geschiedenis van de Geodesie in Nederland. In deze publicatie [1] beschrijf ik de ontwikkeling van het gedachtegoed van wat in de Geodesie wel ‘de Delftse School’ genoemd wordt. Deze theorie werd ontwikkeld in de twintigste eeuw en trok nationaal en zeker ook internationaal veel aandacht.

De Delftse School betrof de wijze waarop meetnetwerken werden ontworpen, de meetresultaten werden verwerkt, en vooral de wijze waarop de kwaliteit van de uitkomsten werd beoordeeld. Deze theorie kreeg geleidelijk aan grote invloed op de geodetische en landmeetkundige praktijk. De belangrijke voortrekkers van deze ontwikkeling waren Jacob Menno Tienstra en zijn leerling en opvolger Willem Baarda en hun medewerkers. Hun actieve bijdrage aan dit veld liep van ongeveer 1930 tot 1980. Het is nu bijna 40 jaar geleden dat de laatste met emeritaat ging (1982). Door de ontwikkelingen daarna is de aandacht voor dit werk sterk verminderd.

De opkomst vanaf de tachtiger jaren van de vorige eeuw, van eerst volautomatische ‘total stations’ en later GPS en de zich steeds versnellende ontwikkeling van de ICT, hebben de dagelijkse praktijk van de geodeet fundamenteel veranderd. Door het opheffen van de Faculteit der Geodesie aan de TU Delft en de Geodesie-opleiding aan de Hogeschool van Utrecht is de instroom van hoger opgeleide geodeten in het Nederlandse beroepenveld sterk afgenomen. Geodetische taken worden daardoor steeds vaker uitgevoerd door professionals uit andere disciplines. Daardoor dreigt dit gedachtegoed in de vergetelheid te raken. Dit artikel geeft een schets van de ideeën van de Delftse School, in – hopelijk voor niet-ingewijden -, toegankelijke taal. Dat betekent dat de wiskundige achtergronden hier niet behandeld worden.

Figuur 1 – Voorbeeld van een kringnet.

De landmeetkundige puntsbepaling tot ongeveer 1980

Nederland wordt bedekt door het net van de Rijksdriehoeksmeting (RD) met punten op een onderlinge afstand van 20 tot 30 km. Dit werd in verschillende stappen verdicht met tweede en derde ordemetingen van netten met kortere zijden. Daarmee ontstond een relatief dicht veld van gegeven punten waarop kon worden aangesloten voor lokale metingen. Hiervoor moesten deze puntenvelden door aanvullende metingen verder verdicht worden. Dit geschiedde door middel van een aantal meetconfiguraties met gebruik van theodolieten en verschillende technieken voor afstandsmeting. Sinds de jaren zestig kwam elektronische instrumentatie beschikbaar voor lengtemeting over afstanden tot enkele kilometers, waardoor de meetkundige structuur van de netwerken sterk vereenvoudigd kon worden. Figuur 1 geeft een voorbeeld van een kringnet, een meetconstructie die vanaf de jaren zestig van de vorige eeuw in de Nederlandse landmeetkundige praktijk veel werd toegepast. Van alle zijden werden de lengtes gemeten met een elektronische afstandsmeter en in alle hoekpunten werden de hoeken tussen in zo’n punt samenkomende zijdes gemeten. Als nu de punten A en B bekend zijn in coördinaten in het RD-stelsel, dan kunnen de overige punten van daaruit ook in RD-coördinaten berekend worden. Bij deze opzet werd, zoals in de landmeetkunde gebruikelijk, ervan uitgegaan dat de metingen in een horizontaal vlak werden berekend, dat is een vlak loodrecht op de lokale richting van de zwaartekracht.

Omdat bij het meten fouten konden worden gemaakt, werden er meer metingen verricht dan strikt noodzakelijk was om de coördinaten van alle punten te berekenen. Dat zijn ‘redundante’ of ‘overtallige’ waarnemingen. Daarmee konden controles worden uitgevoerd. Hierbij bleek echter dat er kleine tegenspraken optraden, zonder dat er echte meetfouten waren gemaakt. Dit kwam doordat metingen een stochastisch (statistisch) karakter hebben, waardoor ze bij herhaalde waarneming een zekere spreiding van waarden vertonen.

Onderzoeksvragen voor de Delftse School

Uit deze ervaring ontstond het onderzoeksprogramma van de Delftse School, en ontwikkelde zich met voortschrijdend inzicht door de jaren heen. De volgende vragen kwamen aan de orde:

  • Hoe werk je de tegenspraken, die als gevolg van het stochastische karakter van de meetresultaten optreden, op een verantwoorde wijze weg?
  • Hoe werkt het stochastische karakter van de metingen door op de berekende coördinaten?
  • Hoe kun je voorkomen dat er niet-stochastische afwijkingen in de meetresultaten (meetfouten) optreden?
  • Hoe kun je schatten welke orde van grootte van meetfouten eventueel onontdekt blijven? En hoe zouden die doorwerken in de berekende coördinaten?
  • Hoe kun je een meetopzet ontwerpen zodat de effecten van 2, 3 en 4 binnen aanvaardbare grenzen blijven?
Figuur 2 -Standaardellips voor een nieuw berekend punt.

De eerste vraag wekte al langere tijd de belangstelling van geodeten, maar ook van astronomen, wiskundigen en statistici. In de negentiende eeuw werden elegante oplossingen gevonden door bekende wetenschappers zoals Gauss, Legendre en Laplace. Zij kwamen tot een oplossing die we nu kennen als de vereffening volgens de ‘Methode der Kleinste Kwadraten’. Deze methode geeft een oplossing waarbij de som van de kwadraten van de aan de waarnemingen toegekende correcties minimaal is. Later werd deze methode gemodificeerd zodat er bij het toekennen van correcties rekening kon worden gehouden met de nauwkeurigheid van de waarnemingen. Deze werd uitgedrukt in de standaardafwijking of het kwadraat daarvan, de variantie. Tienstra heeft zich in zijn tijd (rond 1930-1950) vooral beziggehouden met het onderzoek naar de grondslagen van deze methode. Hij ontwikkelde algoritmes, die goed aansloten bij de werkwijze van landmeters en geodeten. Deze werkwijze werd gekenmerkt door het feit dat grote meetprojecten vaak in meerdere fasen werden gemeten. Zijn werk is beschreven in het postuum uitgegeven (Tienstra 1956). Hij liet daarbij ook zien hoe het stochastisch karakter van de waarnemingen doorwerkte op de berekende coördinaten.

Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen als in figuur 2. Stel dat de punten 1 en 2 in coördinaten bekend zijn en laten we ook aannemen dat die foutloos zijn. Als nu in de driehoek voldoende hoeken en afstanden worden gemeten, kunnen de coördinaten van punt 3 bepaald worden. De onzekerheid van die coördinaten wordt beschreven door hun varianties en co-varianties, berekend uit de varianties van de waarnemingen. Daaruit worden dan de grootte en oriëntatie berekend van een ellips, die gecentreerd is op het nieuwe punt. Deze wordt standaardellips genoemd.

Dit is uiteraard een simpel voorbeeld. Bij uitgebreidere netwerken kan dan de nauwkeurigheid van de coördinaten van alle punten berekend worden, met de daaruit afgeleide standaardellipsen. Evenzo kan de nauwkeurigheid bepaald worden van coördinaatverschillen tussen punten en ook daaruit kunnen ‘relatieve’ standaardellipsen bepaald worden. Dit is gedaan in figuur 3 (vol getrokken ellipsen). Het netwerk is doorgerekend vanuit de punten 17 en 21. Het totale plaatje geeft een indruk hoe goed het netwerk gemeten is en wat de kwaliteit is van de coördinaten en van de coördinaatverschillen en dus van de ligging en relatieve ligging van de punten.

S-Stelsels en criteriummatrices

Wat opvalt in figuur 3 is dat de standaardellipsen groter worden naarmate de punten verder weg liggen van de rekenbasis. Deze ellipsen zijn blijkbaar niet alleen afhankelijk van de kwaliteit van de metingen, maar ook van hun positie ten opzichte van de rekenbasis. Bij een kwaliteitsbeoordeling moet men hier rekening mee houden. Baarda was zich daarvan bewust en formuleerde een methodiek voor de kwaliteitsbeoordeling die dat deed [2]. Dat ging als volgt. Als de coördinaten van een punt berekend worden, krijgt men daarbij als maat voor de nauwkeurigheid de varianties en covarianties. Dat zijn voor twee coördinaten vier grootheden. Hiermee kan men een 2×2 matrix σx,y opstellen met de varianties op de diagonaal en de co-varianties naast de diagonaal. Bij twee nieuwe punten krijgt men zo een 4×4 matrix en voor n punten een 2nx2n matrix. Uit deze gegevens worden dus de standaardellipsen en relatieve standaardellipsen berekend.

Figuur 3 – Netwerk met standaardellipsen en criteriumcirkels (Baarda 1973).

Baarda kwam nu, samen met zijn medewerker Jouke Alberda, op het idee om een kunstmatige matrix Hx,y op te stellen die cirkels in plaats van ellipsen genereerde, zie de gestippelde cirkels in figuur 3. De grootte van deze cirkels kan met één of twee parameters worden ingesteld en daarmee kan men een bovengrens instellen zodat de berekende ellipsen niet door deze cirkels heen steken. Hij koos voor cirkels omdat er dan voor de kwaliteit van de coördinaten geen voorkeursrichting is. Voorwaarde is wel dat de beide matrices ten opzichte van dezelfde rekenbasis berekend worden. Dus de keuze van die basis moest expliciet gemaakt worden; Baarda noemde dat een Schrankingsbasis of kortweg S-basis. Hij formuleerde ook een transformatie, de S-transformatie. De coördinaten kunnen daarmee naar een andere basis omgerekend worden, zonder dat de netwerkberekening overgedaan hoeft te worden. Met die S-transformatie kan men ook beide matrices omrekenen.

De visuele benadering in figuur 3 heeft beperkingen, zeker bij grote netwerken. Bovendien bevatten de matrices meer informatie dan door deze figuren wordt weergegeven. De eis die in bijvoorbeeld figuur 3 wordt gesteld, is dat de kwaliteit van de coördinaten altijd beter is dan het met H aangegeven criterium. Maar een algemenere eis is dat voor iedere functie F van de coördinaten (zoals afstanden en oppervlaktes) geldt dat σFF < HFF . Als beide matrices omgezet worden naar een andere S-basis, mag dat geen effect hebben op deze ongelijkheid. Dus voor het toetsen van de kwaliteit van de berekende coördinaten maakt het dan niet uit vanuit welke S-basis die berekend is. Dat wil zeggen dat de vergelijking van σx,y met Hx,y alleen beïnvloed wordt door de structuur van het netwerk en de kwaliteit van de waarnemingen.

Baarda toonde aan dat bovenstaande het geval is wanneer de twee matrices aan de volgende voorwaarde voldoen: vergelijk de twee matrices via het gegeneraliseerde eigenwaarde probleem: |σx,y – λ Hx,y| = 0. Uit de oplossing van die vergelijking voor n punten volgen 2n waarden voor de zogenoemde eigenwaarden λ. De laagste waarde is altijd λmin > 0 . Voor de hoogste waarde wordt geëist dat λmax < 1. Als beide matrices naar een andere S-Basis worden omgezet, dan heeft dat geen effect op de gevonden waarden voor λ.

Figuur 4 – De inwendige betrouwbaarheid van een netwerk, grenswaarden van waarnemingen (Baarda 1973).

Toetsen op meetfouten: de betrouwbaarheid van metingen

De co-variantiematrix van de coördinaten beschreef één aspect van de kwaliteit van de meetresultaten. Baarda noemde dat de precisie van de metingen en coördinaten. Een ander belangrijk aspect was het al dan niet voorkomen van onontdekte meetfouten en hun effect op de berekende coördinaten. Daarvoor werd de term betrouwbaarheid gebruikt.

Uitgangspunt is dat als bij een meting overtallige waarnemingen worden gedaan, de verwerking met een Kleinste Kwadraten Vereffening kleine correcties geeft met waarden om en nabij 0 in het geval er geen echte meetfouten zijn gemaakt. Als de correcties aanzienlijk van nul afwijken, kan dat wijzen op fouten. Door de natuurlijke spreiding van waarnemingsuitkomsten, uitgedrukt in hun standaardafwijking σ of variantie, kan het ook wel eens gebeuren dat er toch een wat grotere afwijking optreedt. Daarom werd er een toets geformuleerd zodat de kans hierop klein is, meestal gesteld op α0 = 0.001 (0.1%). Het is interessant om te weten hoe gevoelig zo’n toets is. Stel dat er een fout wordt gemaakt in een waarneming, dat betekent dat de gemiddelde waarde verschuift, zeg met een waarde ∇, de nabla grootheid. Dan zullen de waarnemingsuitkomsten met dezelfde standaardafwijking σ om deze nieuwe waarde verspreid zijn.

De vraag is hoe groot ∇ moet zijn om met een zekere kans β gevonden te worden. Deze kans werd om praktische redenen op β = 0.80 (80%) gesteld. Met deze waarden voor α0 en β kunnen dan de waarden ∇ voor alle waarnemingen berekend worden, deze werden grenswaarden genoemd. De combinatie van de waarden voor α0 en β met de berekende waarden voor ∇ werd de ‘inwendige betrouwbaarheid’ van het netwerk genoemd, zie figuur 4. Het effect op de coördinaten als de fouten niet ontdekt worden, werd de uitwendige betrouwbaarheid genoemd.

Een kringnet werd zo gemeten dat vanuit een S-basis de coördinaten van alle andere punten berekend konden worden. Met de hierboven beschreven methodiek konden alle waarnemingen worden getoetst. Als eventuele meetfouten dan zijn opgespoord en hersteld, weet je dat de metingen daarna in orde zijn; zij bevatten geen fouten meer.

Voor aansluiting van nieuwe metingen op RD-coördinaten waren minimaal twee bekende RD-punten nodig. Als deze als S-basis werden gekozen, waren er meestal naast deze twee punten ook andere punten van het net bekend in RD-coördinaten. Door de nieuw berekende coördinaten met de gegeven RD-coördinaten te vergelijken, spoorde men eventuele tegenspraken op. Ook die konden met de beschreven methodiek getoetst worden. Zo kon men nagaan of de gegeven punten verstoord waren. Dus in deze tweede fase van de verwerking van het nieuw gemeten kringnet was het mogelijk om gegeven punten te toetsen.

Een andere tijd

In de hierboven geschetste theorie werd voor het eerst het begrip nauwkeurigheid gepreciseerd en uitgesplitst in de begrippen precisie en betrouwbaarheid. Daarbij wordt precisie uitgedrukt door de covariantiematrix van de coördinaten en betrouwbaarheid door de combinatie van de waarden van α0 en β en de berekende grenswaarden ∇. Begin jaren zeventig van de vorige eeuw hadden de ideeën van de Delftse School vorm gekregen in een samenhangende kwaliteitstheorie, zoals hier is geschetst. Ondertussen was de elektronische rekentechniek voldoende ontwikkeld om deze echt toe te passen bij de doorrekening van landmeetkundige netwerken en kon de kwaliteit daarvan echt getoetst worden. Daartoe was het Laboratorium voor Geodetische Rekentechniek (LGR) opgericht. Met de software die men daar ontwikkelde, was het ook mogelijk om ontworpen netwerken door te rekenen voordat ze gemeten werden. Zo testte men of een ontworpen netwerk aan de gestelde eisen van precisie en betrouwbaarheid voldeed. Als dat zo was, ging men meten en toetste daarna de resultaten op meetfouten of andere verstoringen. Deze benadering verhoogde de efficiëntie en verlaagde de kosten van het te verrichten veldwerk.

De theorie was ontwikkeld tegen de achtergrond van de landmeetkunde praktijk van toen, in Nederland en ook elders. Daarbij lag de nadruk op metingen in het horizontale vlak en hoogtemetingen. Het zoeken ging daarna natuurlijk nog door, waarbij in Delft vooral aandacht werd besteed aan uitbreiding van de ideeën voor metingen in de 3-dimensionale ruimte (3D). Herman Quee en ik zijn op dat thema gepromoveerd. Frits Brouwer heeft in zijn proefschrift de ideeën toegepast op de ‘Very Long Baseline Interferometry’. Verder werd vooral in Duitsland de toepassing van de Delftse benadering in de fotogrammetrie gerealiseerd. Baarda zelf heeft nog gewerkt aan de verbinding met de gravimetrie. Na zijn emeritaat heeft Peter Teunissen het werk voortgezet en het onderzoek in een nieuwe fase gebracht; de aanzet daartoe gaf hij in zijn proefschrift. Maar die ontwikkelingen vallen buiten de onderwerpen van bovengenoemde Publicatie Nr. 4 van de Hollandse Cirkel.

De ontwikkeling van de hier beschreven theoretische denkbeelden besloeg ongeveer een halve eeuw. Het was de intuïtie en de vasthoudendheid van de twee mannen en hun medewerkers, die tot het fundamentele inzicht leidde wat kwaliteit in de Geodesie en Landmeetkunde betekende. Zo kwam een consistente theorie tot stand, die het mogelijk maakte om meetnetwerken te ontwerpen, metingen te plannen en meetresultaten te beoordelen. Deze benadering leidde tot een efficiëntieverbetering in de toenmalige praktijk. Ja, het was een andere tijd. Maar je kunt je afvragen of in de huidige praktijk van de geo-informatie inwinning en verwerking, het belang hiervan nog altijd wordt ingezien. Of men nog bereid is om het begrip van gegevenskwaliteit met een vergelijkbare diepgang te doorgronden om tot een consistent en samenhangend theoretisch raamwerk te komen voor de beschrijving van de kwaliteit van geo-informatie.

Ondanks de verregaande digitalisering van onze communicatie blijft een brief of ansichtkaart in specifieke gevallen nog steeds gewenst. PostNL speelt daar op in met diverse emissies. Na een Postzegelblok over ‘Nederland in de Bosatlas’ (2012), een blok met de kaart van Nederland met nachtelijk verspreid kunstmatig licht (2015), nu een blok met de eerste atlassen van de Nederlanden, 450 jaar geleden. Kaarten met de uitgevers van destijds en nog een vermelding dat het noorden toen niet altijd boven aan de kaart lag. De fysieke atlassen zijn onderdeel van de collecties van de UvA.

Referenties

  1. Molenaar, M.: De Delftse School – De ontwikkeling van een kwaliteitstheorie voor geodetische metingen, 1930-1980. De Hollandse Cirkel: Geodetisch-Historische Monografieën Nr. 4, 2020, 72 pp
  2. Baarda, W.: S-TRANSF’ORMATIONS AND CRITERION MATRICES. Neth. Geod. Comm. Publ. on Geodesy, New Series, Vol. 5, No. 1, Delft 1973. 168 pp [3] Tienstra, J.M.: Theory of the adjustment of normally distributed observations, Amsterdam: Argus, 1956, 232 pp
Afbeelding voor Martien Molenaar

Martien Molenaar

Volledige biografie