Ga door naar hoofdcontent
ArtikelenStatistisch toetsen van deformaties

Statistisch toetsen van deformaties

Maandag 1 juni 2020Afbeelding Statistisch toetsen van deformaties

Gebouwen kunnen bij bouwwerkzaamheden verzakken door mijnbouw of door natuurlijke processen, zoals inklinkende veenlagen. Ook wegen en waterwegen en de bodem kunnen verzakken, verschuiven of zelfs naar boven komen. Om deze deformaties te voorkomen, te dempen of te herstellen is het nodig deformaties te meten en, zo mogelijk, te voorspellen. Daarvoor wordt de geodetische deformatieanalyse toegepast.

Geodetische deformatieanalyse is de analyse van veranderingen en vervormingen van objecten (gebouwen, infrastructuur, ondergrond) die met geodetische meetinstrumenten zijn bepaald, denk bijvoorbeeld aan GPS-ontvangers, waterpasinstrumenten, tachymeters, remote-sensingapparatuur, fotogrammetrisch instrumentarium, laserscanners en satellietradarinterferometers. Richtlijnen voor geodetische deformatieanalyse worden gepubliceerd door twee grote opdrachtgevers: Rijkswaterstaat (infrastructuur) en ProRail (spoorwegen). Deze richtlijnen worden ook door anderen toegepast. Evenzo publiceert Staatstoezicht op de Mijnen een leidraad voor deformatiemetingen, toegepast door NAM en andere mijnbouwmaatschappijen. Andere organisaties die deformatieanalyses uitvoeren zijn aannemingsbedrijven in de bouw (bouwwerken), gemeentes, provincies en waterschappen (infrastructuur, bodemdaling en meer) en de industrie (industriële installaties). Ten slotte worden geodetische deformatieanalyses ingezet voor wetenschappelijk onderzoek voor de lange termijn (bijvoorbeeld continentale drift en klimaatonderzoek).

Nieuwe methode

In dit artikel beschrijf ik hoe de Nederlandse praktijk momenteel geodetische deformatieanalyse toepast en stel ik een nieuwe methode voor die ik tijdens mijn promotieonderzoek aan de TU Delft heb ontwikkeld. Momenteel loopt een onderzoeksproject naar de implementatie van het model in de praktijk. Daaraan nemen Rijkswaterstaat, de NAM en verschillende geodetische ingenieursbureaus deel. Het project sluit aan op het promotieonderzoek en op het project DefoGuide (Velsink, 2016). Ik beschrijf het verschil van de methode met bestaande methodes en ik geef aan welke software ervoor gebruikt kan worden. In een vervolgartikel zal ik dieper ingaan op het model achter de methode en op het gebruik ervan in de praktijk.

Afbeelding 1 – Vergelijkingstabel volgens protocol Rijkswaterstaat; in rood verschillen die niet aan de eisen voldoen.

1 – Deformatieanalyse door vergelijking van coördinaten (of hoogtes)

Het gebruik van geodetische deformatieanalyse voor verschillende toepassingen wordt niet steeds op dezelfde wijze gedaan. In deze en volgende paragrafen komen de belangrijkste methoden aan de orde.

Veelgebruikte methode

Een gebruikelijke methode om deformatiemetingen uit te voeren is het beginnen met een nulmeting. Een aantal punten van bijvoorbeeld een te monitoren bouwwerk, worden met een tachymeter aangemeten en de coördinaten in het horizontale vlak of de driedimensionale coördinaten van de punten worden berekend. Ook waterpasmetingen kunnen worden gebruikt om hoogten van punten te berekenen. De tijd die nodig is om alle punten aan te meten wordt een epoche genoemd. Enige tijd later wordt de eerste herhalingsmeting (de volgende epoche) gemeten en de coördinaten worden berekend ten opzichte van dezelfde rekenbasis als voor de nulmeting is gebruikt. De rekenbasis moet uit stabiele punten bestaan. De coördinaten worden in een tabel gezet en de verschillen berekend, zie afbeelding 1 met niet de eerste maar de negende herhalingsmeting.

Als een of meer verschillen een bepaalde tolerantie overschrijden is de conclusie dat er een deformatie is. Welke punten aan de deformatie onderhevig zijn en hoe groot de deformaties zijn, is lastig te bepalen. Dit komt vooral doordat de berekende coördinaatverschillen anders worden, als een andere rekenbasis wordt gebruikt. Om dit op te lossen wordt naar stabiele punten gezocht, waarop via een aansluitingsvereffening wordt aangesloten. Vaak worden strenge eisen gesteld aan de vereffening en toetsing van de individuele epochen, gebaseerd op de statistische methoden van de Delftse school in de geodesie (van Daalen, 1985). Maar bij de vergelijking van de hoogten of coördinaten van verschillende epochen ontbreken meestal statistisch gefundeerde eisen. De eisen beperken zich tot vaste getalswaarden, de toleranties. Ook wordt in het algemeen geen gebruik gemaakt van de standaardafwijkingen van de coördinaten en de correlaties daartussen. De correlatie is een getal tussen min één en plus één die de statistische afhankelijkheid beschrijft. Door eerdere vereffeningsberekeningen, waarvan de coördinaten het resultaat zijn, zijn de coördinaten meestal sterk gecorreleerd. De meeste vereffeningsprogramma’s kunnen covariantiematrices berekenen, waaruit de correlaties kunnen worden bepaald.

Nadelen

De methode kent enkele nadelen. Ten eerste zijn de berekende hoogteverschillen of coördinaatverschillen niet invariant voor de rekenbasis. De invloed daarvan op berekende verschillen is zodanig groot, dat de eigenlijke deformaties dreigen onder te sneeuwen en soms onontdekt blijven. Het maken van vectorkaartjes kan daardoor een verkeerd beeld van de deformaties geven (Xu, Shimada, Fuji & Tanaka, 2000). Ten tweede worden de covariantiematrices van de coördinaten in de verschillende epochen niet meegenomen. Daardoor is de toetsing minder scherp dan mogelijk zou zijn. Het gevolg is, dat berekende verschillen in hoogten of coördinaten worden gezien als deformaties zonder de mogelijkheid te onderscheiden tussen deformatie enerzijds en meetruis en andere ruis anderzijds. Ten derde is de analyse puntgericht. Dat betekent dat de methode verschillen van individuele punten beoordeelt. De vorm en grootte van het puntenveld worden niet beoordeeld, terwijl dat toch de kern is van een deformatieanalyse (deformatie = vervorming, misvorming volgens Van Dale). Om de vorm van een tweedimensionaal puntenveld te kunnen beoordelen zijn minimaal drie punten nodig (een driehoek). Immers van twee driehoeken kunnen we bepalen, of ze conform zijn (conform = van gelijke vorm). Dat kan niet met twee lijnstukken of met twee punten. Voor een puntenveld met driedimensionale coördinaten zijn minimaal vier punten nodig (een viervlak of tetraëder).

In de volgende paragraaf worden methoden behandeld die de vergelijking van hoogten of coördinaten van twee of meer epochen wel aan een statistische toets onderwerpen en wordt de nieuwe methode voorgesteld.

2 – Deformatieanalyse door statistisch toetsen

Hannover en Delft

In de zeventiger jaren van de vorige eeuw zijn de eerste methoden ontwikkeld voor geodetische deformatieanalyse die zich niet beperkten tot het vergelijken van hoogten of coördinaten, maar een strenge statistische toetsing nastreefden. In Hannover ontwikkelde Pelzer een methode die veel navolging heeft gevonden en waarvan verschillende varianten zijn ontstaan (Caspary, 2000; Niemeier, 1979; Pelzer, 1971). In Delft ontwikkelde Van Mierlo een methode voor deformatieanalyse gebaseerd op de ideeën van Baarda over vereffening en statistisch toetsen (Van Mierlo, 1978). Hierop gingen in de negentiger jaren medewerkers van de TU Delft verder ten behoeve van de deformatieanalyses van het Groninger gasveld (de Heus, Joosten, Martens & Verhoef, 1994). Voor dezelfde doelstelling bouwden Kenselaar & Quadvlieg (2001) de modellen verder uit. Houtenbos, gepensioneerd bij Shell en NAM, bouwde een analysesysteem in MATLAB en schreef een handleiding over het door hem gehanteerde model, dat gebaseerd is op de Delftse school en het Kalmanfilter (Houtenbos, 2004).

Kern van de methode van Pelzer en navolgers

De methode van Pelzer – en diens navolgers – gebruikt in essentie dezelfde methode als in paragraaf 1 beschreven met een belangrijke aanvulling. Nu worden wel de covariantiematrices van de hoogten of coördinaten meegenomen bij het vergelijken van coördinaten. De verschillen in hoogten of coördinaten worden niet vergeleken met een vaste tolerantiewaarde. In plaats daarvan worden toetsingsgrootheden afgeleid die invariant zijn voor de rekenbasis en die worden getoetst tegen kritieke waarden die uit statistische kansverdelingen volgen. Wel blijft de puntgerichte aanpak, wat blijkt uit het zoeken naar deformaties door per punt te toetsen of die verschoven is. Een toepassing van deze methode is te vinden in het vrij op Internet te verkrijgen computerprogramma JAG3D (2020). Ook verschillende andere Duitse programma’s passen de methode toe.

Kern van de Delftse aanpak

Voor het statistisch toetsen van deformatiemetingen heeft Van Mierlo onafhankelijk van Pelzer een methode ontwikkeld. Daarbij volgt Van Mierlo een puntgerichte aanpak, gebruikt covariantiematrices en past de toetsings- en kwaliteitsbeschrijvingstheorieën van Baarda toe. De latere Delftse ontwikkelingen betreffen het schatten van deformatiebewegingen gedurende vele epochen voor afzonderlijke punten.

Hanssen en zijn groep zetten de Delftse traditie voort en passen die specifiek toe op analysemodellen voor interferometrische radar met kunstmatige lensopening (InSAR) (Chang & Hanssen, 2016). Daar worden de statistische toetsen ten behoeve van deformatieanalyses in de InSAR-programmatuur geïntegreerd. Ook voor de analyse van waterpasmetingen worden nieuwe methoden ontwikkeld die invariant zijn voor de rekenbasis en de integratie met InSAR-metingen mogelijk maken.

3 – Nieuwe methode

Methoden die worden toegepast voor geodetische deformatieanalyse verschillen tussen binnen- en buitenland, tussen verschillende beroepspraktijken en met het wetenschappelijk bedrijf. Het was aanleiding in mijn promotieonderzoek de methoden op een rij te zetten en conclusies te trekken. Daaruit en uit fundamentele beschouwingen over het probleem volgde een nieuwe methode, die hier wordt toegelicht. Eerst wordt de gebruikelijke methode geïllustreerd met een eenvoudig voorbeeld. Daarna wordt de fundamenteel andere aanpak van de nieuwe methode besproken aan de hand van hetzelfde voorbeeld.

Eenvoudig voorbeeld Het eenvoudige voorbeeld bestaat uit drie hoogtebouten waartussen de onderlinge hoogteverschillen zijn gemeten als nulmeting. In een latere epoche worden de drie hoogteverschillen nogmaals gemeten (afbeelding 2).

Afbeelding 2 – Drie hoogteverschillen, twee epochen.

Gebruikelijke methode: vergelijking van hoogten

De drie hoogtemetingen worden in beide epochen vereffend en de hoogten van B en C worden berekend ten opzichte van A. Dan worden de hoogteverschillen in B en C tussen nul- en herhalingsmeting bepaald. Het resultaat is in afbeelding 3 weergegeven.

Afbeelding 3 – Punten in horizontaal vlak, gestippelde lijnen zijn hoogteverschillen, overdreven groot weergegeven. Epoche 1: cirkeltjes, epoche 2: kruisjes. Rekenbasis is A.

In plaats van A kan evengoed C als rekenbasis worden genomen, zie afbeelding 4. Het probleem wordt nu duidelijk: afbeelding 3 en 4 zijn op precies dezelfde metingen gebaseerd. Toch geven ze een ander beeld van de deformaties en is moeilijk te bepalen welk punt aan deformatie onderhevig is en hoe groot de deformatie is.

Afbeelding 4 – Punten in horizontaal vlak, gestippelde lijnen zijn hoogteverschillen, overdreven groot weergegeven. Epoche 1: cirkeltjes, epoche 2: kruisjes. Rekenbasis is C.

Pelzer en zijn navolgers houden rekening met de covariantiematrices van de hoogten en kunnen daarmee toetsingsgrootheden voor de individuele punten afleiden die voor afbeelding 3 en afbeelding 4 dezelfde waarden hebben.

Nieuwe methode

Voor de nieuwe methode worden de coördinaten van de nulmeting en de herhalingsmeting samengevoegd in een gecombineerde vereffening. Het model voor deze vereffening stelt dat er geen deformatie is. Uit de vereffening moet daarom komen, dat A, B en C dezelfde vereffende waarden voor beide epochen hebben. Dit wordt geïllustreerd met afbeelding 5. Het vereffeningsmodel kan worden getoetst met een algemene toets van het model. Als deze wordt verworpen is er waarschijnlijk een deformatie.

Afbeelding 5 – Na vereffening zonder deformatie. Legenda als in afbeelding 3 en 4.

De zoektocht naar de deformatie kan beginnen met bijvoorbeeld de hypothese dat punt B is gezakt of gestegen, zie afbeelding 6. Deze hypothese wordt in het vereffeningsmodel ingebracht en statistisch getoetst. Zo kunnen ook punt A of punt C of A en C samen in het model worden opgenomen als van positie veranderde punten. Dat model wordt getoetst. Zo worden verschillende hypothesen getoetst en op basis van een informatiecriterium wordt bepaald welke hypothese de beste is. Daarna wordt het vereffeningsmodel aan de beste hypothese aangepast. De vereffening levert een kleinste-kwadratenschatting van de deformatie.

Afbeelding 6 – Heeft punt B zich bewogen? Legenda als in afbeelding 3 en 4.

Geen stabiele punten nodig

Met deze methode worden de deformaties niet bepaald ten opzichte van een rekenbasis, maar ten opzichte van de andere punten van het puntenveld. Dat betekent, dat er wel een rekenbasis moet worden gekozen (om hoogten te berekenen), maar dat slechts de hoogte van een punt in een epoche hoeft te worden gefixeerd. De hoogte van het punt in andere epochen blijft ‘vrij’. Daardoor kunnen de deformaties van het basispunt worden geschat, zoals de deformaties van de andere punten worden geschat. Bovendien hoeft het basispunt geen stabiel punt te zijn!

Minimale detecteerbare deformaties en normering

Omdat een kleinste-kwadratenvereffening wordt uitgevoerd, kan het toetsen op deformaties plaatsvinden via de gebruikelijke formules. Daaruit volgt, dat ook grenswaarden kunnen worden berekend. Een grenswaarde is de fout in een waarneming die met een zekere kans (vaak 80% gekozen) gevonden kan worden met een conventionele eendimensionale toets. In de context van een deformatieanalyse beschrijft een grenswaarde van een punt in een epocheninterval de minimale detecteerbare deformatie. Het begrip ‘grenswaarde van een punt in een epocheninterval’ vergt een toelichting. In het vereffeningsmodel wordt het feit, dat in afbeelding 2 de punten A1 en A2 hetzelfde punt zijn en dezelfde hoogte hebben (als er geen deformatie is), beschreven als een waarneming, namelijk het hoogteverschil tussen A1 en A2. Dit hoogteverschil, deformatierestrictie genoemd, krijgt in de vereffening een waarde 0 (er is geen deformatie) en een standaardafwijking 0 (het is exact hetzelfde punt). Van een dergelijke waarneming kan een grenswaarde worden berekend: de minimale detecteerbare deformatie. Deze kan worden gebruikt voor normering van deformatiemetingen en voor het plannen van een deformatiemeting. Dit heeft een belangrijke consequentie. In de huidige professionele praktijk worden normen gebruikelijk in standaardafwijkingen uitgedrukt, die afhankelijk zijn van de rekenbasis. Met de nieuwe methode kunnen minimale detecteerbare deformaties worden gebruikt, die invariant zijn voor de rekenbasis.

Toetsing van drie of meer epochen

Tenslotte blijkt uit de redenering tot nu toe, dat niets ons in de weg staat om niet twee, maar drie of meer epochen tegelijk in het vereffeningsmodel op te nemen en statistisch te toetsen. Voor al die epochen kunnen hypothesen worden opgesteld, die betrekking kunnen hebben op meer punten en op meer epochen. Het is zelfs mogelijk een hypothese op te stellen die van sommige punten verondersteld dat ze bijvoorbeeld van epoche 0 tot 2 zijn gezakt, dat andere punten van epoche 2 tot 5 zijn gestegen en dat de rest stabiel is gebleven. Ook is het mogelijk niet lineaire verzakkingen in het model op te nemen. Onderzoek en praktijk zullen moeten uitwijzen of dergelijke complexe hypothesen voldoende scherp getoetst kunnen worden.

Metingenmodel – toepassing met MOVE3, JAG3D

Het benodigde vereffeningsmodel kan op twee verschillende manieren worden opgesteld. De eerste manier is in afbeelding 7 weergegeven. Hier worden de waarnemingen die door de geodetische metingen zijn verzameld als waarnemingen opgenomen in het vereffeningsmodel, geordend per epoche. Deze waarnemingen worden vereffend samen met de deformatierestricties en leveren geschatte coördinaten op voor alle punten in alle epochen. Als de algemene toets van het model wordt verworpen, kunnen alternatieve deformatierestricties worden opgesteld, waarmee andere, alternatieve hypothesen kunnen worden getoetst. In dergelijke alternatieve deformatierestricties kunnen extra parameters worden opgenomen, bijvoorbeeld de zakkingssnelheid van een punt. Het model van deze methode heet het metingenmodel. Deze methode kan op dit moment in zijn eenvoudigste vorm met MOVE3 (2020) of JAG3D (2020) worden uitgevoerd in 1D, 2D en 3D. De deformatierestricties worden met de verschuivingsvectoren van MOVE3 of de GNSS-basislijnen van JAG3D gerealiseerd. In 1D (hoogteverschilmetingen) is door mij een programma in MATLAB geschreven voor een dergelijke deformatieanalyse. Het is voor onderwijs en onderzoek bedoeld.

Afbeelding 7 – Metingenmodel.

Coördinatenmodel – in plaats van tabellen met coördinaten

De andere methode voert de vereffening in twee fasen uit, zie afbeelding 8. In de eerste fase worden de waarnemingen uit de geodetische metingen per epoche afzonderlijk vereffend. Daarbij wordt wél de covariantiematrix van de geschatte coördinaten berekend, omdat die in de vervolgvereffening nodig is. In de tweede fase worden de coördinaten van alle epochen samengevoegd, vereffend en getoetst. Dit model, het coördinatenmodel genoemd, lijkt sterk op het metingenmodel. In plaats van waarnemingen van geodetische metingen functioneren de coördinaten uit de eerste fase (inclusief de covariantiematrices) als waarnemingen in het vereffeningsmodel. In het model zijn bovendien transformatieparameters opgenomen om ervoor te zorgen dat alleen de informatie over de vorm (en eventueel grootte) in de vereffening en toetsing wordt betrokken.

Deze tweede methode lijkt enigszins op wat in de praktijk gebeurt bij een deformatieanalyse door vergelijking van coördinaten. Alleen wordt dan de eerste fase uitgevoerd zonder de covariantiematrices te berekenen. En de tweede fase wordt niet als vereffening uitgevoerd, maar als een rechtstreeks vergelijken van coördinaten in tabellen.

Voor de tweede fase heb ik een programma in Python geschreven voor 2D en 3D ten behoeve van het onderwijs en het onderzoek en om de methode te demonstreren en te testen in de praktijk.

Afbeelding 8 – Coördinatenmodel.

Conclusie

Het nieuwe model voor geodetische deformatieanalyse ondervangt een aantal fundamentele problemen van de tot nu toe gehanteerde modellen. Ten eerste is de analyse invariant voor een wijziging van de rekenbasis. Ten tweede zijn de geschatte deformaties niet ten opzichte van de rekenbasis, maar ten opzichte van de overige punten van het netwerk. Ten derde hoeven de basispunten niet stabiel te zijn. Ten vierde en ten slotte, kunnen minimale detecteerbare deformaties worden berekend nog voor een meting is uitgevoerd en deze kunnen voor normen worden gebruikt. De toepassing van het model in een eenvoudige vorm kan via bestaande software (bijv. MOVE3, JAG3D). Voor onderwijs- en onderzoeksdoeleinden is software ontwikkeld met het doel het model volledig uit te testen en verder uit te bouwen.

Referenties

  • Caspary, W. F. (2000). Concepts of Network and Deformation Analysis. In Concepts of Network and Deformation Analysis. Retrieved from www.sage.unsw.edu.au/sites/sage/files/SAGE-collection/MonographSeries/mono11.pdf
  • Chang, L., & Hanssen, R. F. (2016). A Probabilistic Approach for InSAR Time-Series Postprocessing. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 54(1).
  • de Heus, H. M., Joosten, P., Martens, M. H. F., & Verhoef, H. M. E. (1994). Geodetische Deformatie Analyse: 1D-deformatieanalyse uit waterpasnetwerken. Delft.
  • Houtenbos, A. P. E. M. (2004). Subsidence Residual Monitoring – SuRe User Manual – prepared for SuRe-licensees – Version 1.
  • JAG3D. (2020). Java Applied Geodesy 3D. Retrieved from github.com/loesler/applied-geodesy
  • Kenselaar, F., & Quadvlieg, R. (2001). Trend-signal modelling of land subsidence. 10th FIG International Symposium on Deformation Measurements, Orange, California, USA, 19–22 March, 2001, 336–345. • MOVE3. (2020). MOVE3 software package for the design, adjustment and quality control of 3D, 2D and 1D geodetic networks. Retrieved from move3software.com/
  • Niemeier, W. (1979). Zur Kongruenz mehrfach beobachteter geodätischer Netze. Universität Hannover.
  • Pelzer, H. (1971). Zur Analyse geodätischer Deformationsmessungen. München, Verlag der Bayer. Akad. d. Wiss, Deutsche Geodätische Kommission.
  • van Daalen, D. T. (1985). De Delftse School in beweging – Over Granpré, Baarda en het Melkmeisje. Lustrumboek Snellius 1980-1985, 253–272. Landmeetkundig Gezelschap Snellius.
  • Van Mierlo, J. (1978). A Testing Procedure for Analysing Geodetic Deformation Measurements. Proceedings of the 2nd FIG Symposium on Deformation Measurements by Geodetic Methods, 321–353. Bonn, Germany.
  • Velsink, H. (2016). Eindrapport van het project DefoGuide: Guidelines for Geodetic Deformation Monitoring.
  • Xu, P., Shimada, S., Fujii, Y., & Tanaka, T. (2000). Invariant geodynamical information in geometric geodetic measurements. Geophysical Journal International. academic.oup.com/gji/article/142/2/586/637616
Afbeelding voor Hiddo Velsink

Hiddo Velsink

Volledige biografie